Скорость звука, критическая скорость и число Маха

Число Маха является одним из критериев подобия в механике жидкостей и газов. Критерий назван по имени австрийского ученого Эрнста Маха и обозначается буквой М.

Само по себе число Маха является отношением скорости течения в данной точке газового потока к скорости звука.

В этой статье мы собрали для Вас все необходимые теоретические знания и полное описание всего, что касается выводов и понимания скорости звука, критической скорости и числа Маха.

Скорость звука

Скорость звука α определяется как скорость распространения малых возмущений (формула 1):

где

• dp – приращение давления;
• dρ - приращение плотности.

Поскольку процесс распространения малых возмущений можно считать изоэнтропическим (т.е. без теплообмена и потерь)

где

• p – давление в среде, н/м²;
• ρ – плотность среды, кг/м³;
• R – газовая постоянная, нм/кг ⁰К;
• T – температура, ⁰К.
• κ – показатель изоэнтропы, равный отношению теплоемкости газа при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме определяется по формуле:

Производная от этих уравнений dp/ (p × ρ) определяется с учетом следующих зависимостей.

А если при этом пренебречь влиянием производной dz/dT, то скорость звука будет определяться формулой 2

Величина скорость звука зависит от подвода (или отвода) тепла или механической работы, поскольку может меняться температура газа Т. Но формулы 1 и 2 остаются справедливыми при любом воздействии на газ, не вызывающем химических превращений.

Физически это легко объясняется тем, что изменение давления в плотности и в волне можно рассматривать как малые, но конечные величины, а толщина волны δ столь мала, что её следует считать бесконечно малой.

Поэтому любые массовые силы при переходе через звуковую волну дают слагаемые более высокого порядка малости, чем изменение плотности или давления.

Критическая скорость

Во многих случаях наряду со скоростью звука удобно использовать понятие критической скорости αх, под которой подразумевается местная скорость, равная скорости звука.

Для определения критической скорости воспользуемся общим уравнением сохранения энергии

Но примем в нем:

Н_е = q = 0

Т_н = Т₀

с_н = 0

уравнение критической скорости

где Т_* - это критическая температура.

С другой стороны, скорость α_* , как скорость звука определяется по формуле

α²_* =k × R × T

Из последних двух равенств получаем, что

где α₀ – скорость звука в неподвижной среде.

Таким образом скорость звука для воздуха

Число Маха

Скорость течения соизмерима со скоростью звука, а в некоторых случаях даже больше её.

В таких случаях важной характеристикой течения является отношение скорости течения к скорости звука.

Формула по которой определяют число Маха выглядит так:

М = w / α

где

• w – скорость течения в среде
• α – скорость звука.

Число Маха является одним из основных критериев подобия течений, определяющих эффект сжимаемости. Ведь как известно при сверхзвуковых скоростях резко изменяется характер течения.

Важное значение числа Маха состоит в том, что оно показывает, превышает ли скорость течения газовой среды скорость звука или нет.

Фактически если М > 1, то значит поток движется со скоростью большей скорости звука.

Тогда в случае М < 1 режим будет называться дозвуковым, а при М > 1 сверхзвуковым. Более того, это не все режимы течения жидкости.

Вот ещё несколько:

• Скорость от 1 до 5 Махов, как Вы уже знаете называют сверхзвуковой
• От 5 до 23 Махов – гиперзвуковой
• Более 23 Мазов – первой космической скоростью.

Хотя число Маха это величина безразмерная, но для понимания его порядка во многих источниках приводится в единицы системы СИ, т.е. требуется представить число маха в километрах в час.

Тогда 1 Мах равен 1 199 км/час или 333 м/сек. Но следует учитывать, что такие величины достигаются при нормальном атмосферном давлении и нулевой температуре и влажности у поверхности земли.

Поскольку давление, температура и влажность изменяются на разной высоте от земли, то изменяется и скорость звука.

Так, например для истребителя летящего на высоте 18 000 м от земли со скоростью 2,3 Маха или 2450 км/час, 1 Мах будет составлять уже 1065 км/час или 295 м/сек.