Гидростатический парадокс и сила давления на стенку

Понятие гидростатический парадокс является одним из основных в динамике жидкостей. Для того чтобы разобраться о чем идет речь необходимо вспомнить формулировку закона Паскаля.

Закон Паскаля: внешнее давление, создаваемое в любой точке покоящейся жидкости, передается одинаково по всему объему (во всех направлениях).

В этой статье мы расскажем о том как прийти к обоснованию и вообще, что из себя представляет гидростатический парадокс, как увидеть его на примере опыта, где он нашел применение и конечно, какие выводы можно сделать из полученных знаний.

Вывод расчетной формулы

Определим полную силу давления Р на плоскую наклонную стенку, имеющую площадь F. Линия Oz является следом плоскости рассматриваемой стенки.

Чтобы сделать видимым контур поверхности стенки F, на которую действует сила P, повернем рассматриваемую плоскость вокруг оси Oz до совпадения её с плоскостью чертежа. Тогда ось Ox будет представлять собой след свободной поверхности жидкости при пересечении её с плоскостью стенки.

Рассмотрим прямоугольную элементарную площадку dF, заштрихованную на чертеже, стороны которой параллельны Ox.

Обозначим расстояние площадки dF от оси Ox буквой l, а глубину погружения её под уровень жидкости через h.

Расстояние центра тяжести С рассматриваемой площадки от оси Ox обозначим l_ц.т. (расстояние центра тяжести), а глубину погружения его под уровень h_ц.т.

Тогда получим, что

h = l × sinα и hц.т. = l_ц.т. × sinα (формула 1)

где α – угол наклона стенки к горизонту.

Далее вычисляем элементарную силу давления dP. Для этого вспоминаем:

1) закон Паскаля (описан в первом абзаце статьи) дает выражение

p = p₀ + ρ × g × h

2) сила давления, действующая на какую либо элементарную поверхность, определяется выражением

dP = p × dF

Объединяя выражения под пунктом 1 и 2 получаем:

dP = (p₀ + ρ × g × h) × dF (формула 2)

Затем подставим в полученную формулу 2 значение h из формулы 1 и проинтегрируем левую и правую часть формулы 2 по всей площади стенки F и получим формулу 3

Величина интеграла ldF представляет собой статический момент площади относительно оси Ox. Он равен произведению площади F на расстояние от её центра тяжести до оси, относительно которой берется статический момент.

Далее подставляя этот статический момент в формулу 3 получим

P = (p₀ + ρ × g × h_ц.т.) × × F (формула 4)

Следовательно, полная сила давления в жидкости на какую-либо плоскую стенку равна произведению площади стенки на гидростатическое давление в её центре тяжести.

Формула 4 для определения силы давления на плоскую стенку действительна для случая, когда внешнее давление над поверхностью жидкости в сосуде равно p₀.

Если сосуд открыт, то p₀ = p_атм (равно атмосферному давлению), тогда зависимость, описанная в формуле 4, определяет силу, обусловленную полным абсолютным давлением жидкости на плоскость.

Сила, обусловленная избыточным давлением на плоскость, в этом случае записывается так

P = ρ × g × h_ц.т. × F (формула 5)

Это наиболее часто встречающийся на практике случай.

Сущность гидростатического парадокса

Зависимость описанная в формуле 5 представляет собой так называемый гидростатический парадокс.

Для его иллюстрации посмотрите представленный рядом рисунок.

Гидростатический парадокс заключается в том, что давление, оказываемое на дно, не зависит от формы сосуда при условии соблюдения следующих условий:

• 1. дно сосудов различной формы имеет одинаковую площадь и расположено горизонтально;
• 2. высота уровня жидкости и её плотность в различных сосудах одинакова.

Для наглядного примера демонстрации гидростатического парадокса представьте три сосуда различной формы заполненные водой.

В сосуд А налита вода весом 4 Н (Ньютона), в сосуд В налита вода весом 3 Н и в сосуд С вода весом 2 Н.

Высотная отметка до которой налита вода в каждом сосуде одинакова и составляет 0,5 метра. Площадь дна у всех трех сосудов тоже одинакова и составляет 30 см = 0,003 м² = S.

Используя формулу Паскаля

p = ρ × g × h

где

• ρ – плотность воды (округлим до 1000 кг/см²);
• g – ускорение свободного падения (округляем до 10 м/с²);
• h – высота до которой налита вода (в нашем примере 0,5м).

Получаем давление

p = 1000 × 10 × 0,5 = 5000 Па.

Тогда сила действующая на дно сосуда

F = p × S = 5000 × 0,003 = 15 Н.

Таким образом жидкость в каждом сосуде независимо и с весом 4 Н для сосуда А и с весом 2 Н для сосуда С давит на дно с одинаковой силой равной 15 Н.

Кажет это противоречит здравому смыслу, но приводит к интересным опытам, которые ставил Блез Паскаль

Гидростатический парадокс и опыт Паскаля

Пытаясь найти объяснение гидростатического парадокса Паскаль ставил сосуды, заполненные водой на специальные весы, которые позволяют замерить силу которая давит на дно каждого из сосудов.

Проведя множество замеров ученый пришел к выводу, что при определенной форме сосуда возможно даже с помощью небольшого количества жидкости создать очень большую силу.

Своё умозаключение Блез Паскаль в 1648 году продемонстрировал на примере опыта с бочкой.

Паскаль закрепил на крышку плотно закупоренной бочки цилиндрическую трубку площадью в сечении равной 1 см².

Затем он поднялся на второй этаж – на высоту около 4 метров и налил в трубку кружку воды.

Возникшие в трубке силы создали такое давление на крышку бочки, что её разорвало.

В чем же причина?

Воды из кружки, которую ученый вылил в трубку поднялась до отметки 4 метра. Таким образом вес воды составил

P = m × g = 4 H

Площадь дна бочки составляет около 7500 см². Таким образом давление на крышку составило примерно 30 000 Н. Это огромное давление, создаваемое всего на всего одной небольшой кружкой воды.

Явление гидравлического парадокса нашло применение в современной техники. Оно широко используется в современных гидравлических прессах.